Ahora vamos a resolver la integral: $ \int \operatorname{tg}(2 x) d x = \int \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}dx $ Elegimos para sustituir: $ u = \cos(2x) $ $ du = -2\sin(2x)dx \Rightarrow \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}du $ Escribimos nuestra integral en términos de \( u \): $ -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du $ Y ahora ya podemos integrar :) $ -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln{|u|} + C $ Y para terminar no te olvides de deshacer la sustitución, reemplazamos \( u \) con \( \cos(2x) \) $ -\frac{1}{2} \ln{|u|} + C = -\frac{1}{2} \ln{|\cos(2x)|} + C $ Así que la solución a la integral es: $ \int \operatorname{tg}(2 x) d x = -\frac{1}{2} \ln{|\cos(2x)|} + C $